智能优化算法(1):遗传算法

智能优化算法(1):遗传算法

1.1 遗传算法

遗传算法(Genetic algorithm, GA),模拟生物在自然环境中遗传和进化的自适应(对遗传参数的自适应调整)全局优化(随机变异不断寻找全局最优解)算法,基本思想是“优胜劣汰”,是应用最广泛和效果最显著的智能优化算法。

1.1.1 编码方法

算法模型通过对个体(individual,也即solution)进行二进制编码(01编码)、自然数编码、实数编码和树型编码。在对个体进行适应度计算时需要进行解码,实现问题的解空间与算法搜索空间的相互转换。

1.1.2 适应度函数

每个个体都有一个适应度函数(Fitness),对这个个体的优劣进行定量评价,适应度函数是算法执行“适者生存、优胜劣汰”的依据。适应度函数需要根据目标函数进行设置,令$g(x)$表示目标函数,令$G(x)$表示适应度函数,从目标函数$g(x)$映射到适应度函数$G(x)$的过程称为标定

对于最大值优化问题,可直接将$g(x)$设定为适应度函数$G(x)$,即$G(x)=g(x)$;对于最小值优化问题,$G(x)=-\min g(x)$;在遗传算法规定中,适应度函数为正值,但上述二式无法保证,因此需要加上最小值或者最大值以及分段函数。

1.1.3 选择操作

选择(Selection)是从当前群体中选择适应度函数值大的个体,这些优良个体有可能作为父代繁殖下一代,个体适应度函数越大,被选择作为父代的概率越大(有可能!)

选择算法有很多,最基本的是轮盘赌算法:

其中,$P_i$表示个体被选择的概率;$F_i$表示个体的适应度函数值;$N$表示种群规模。

根据选择概率$P_i$将圆盘形赌轮分为$N$份,第$i$个扇形的中心角为$2\pi P_i$。随机产生0到1之间服从均匀分布的数$r$,落在第$i$个扇形的累计概率为$Q_i = \sum_{j=1}^i P_j$,则选择个体$i$,重复$N$次,就可以选择$N$个个体。

1.1.4 交叉操作

两个个体通过交叉(Crossover)互换染色体部分基因而重组产生新的个体,也就是产生新解。交叉前需要进行随机配对。

一般情况下,对二进制编码的个体采用点交叉的方法,也就是在两个配对字符串随机选择一个或者多个交叉点,互换部分子串从而产生新的字符串

crossover

两个个体是否进行交叉操作由交叉概率决定,较大的交叉概率可以使遗传算法产生更多新解,保持群体多样性,并能防止算法过早成熟,但是交叉概率过大会使算法过多搜索不必要的解区域,消耗过多的计算时间,一般取值在0.9左右。

1.1.5 变异操作

生物进化中,某些染色体可能会发生基因突变(Mutation),从而产生新的染色体,这也是产生新解的另外一种重要方式。交叉操作相当于进行全局探索,变异操作相当于进行局部开发,这也是智能优化算法必备的两种搜索能力

个体能否变异取决于变异概率,过低会使得部分有用基因无法进入染色体,不能提高解的质量;过大会使子代丧失父代优良基因,导致算法失去从过去搜索经验的学习能力,一般情况下,变异概率取值为0.005左右。

值得注意的是,Rudolph通过马尔科夫链相关理论证明仅采用选择、交叉和变异三个操作的遗传算法不能收敛到全局最优解,而采用精英保留策略的遗传算法是全局收敛的

算法的整体流程如下图所示:

GA

1.1.6 算法分析

一个好的智能算法,关键在于全局探索和局部开发能力的平衡。全局探索的目的是对解空间进行更全面的探索,局部开发主要目的是对已知区域进行更精细的搜索,希望获得质量更好的新解。

遗传算法可以通过设置选择压力实现全局探索和局部开发的平衡。在算法运行初始阶段,设置较小的选择压力可以使算法具有较好的全局探索能力,进行广域搜索;算法运行后期,设置较大的选择压力可以使算法进行比较精细的局部搜索。

选择压力的设置可以从适应度函数标定和选择策略。

适应度函数标定,在算法早期,应当缩小个体适应度差距,减少淘汰率;算法运行最后阶段,扩大个体适应度差距,保证算法能在高适应度个体对应解区域进行集中搜索,加快算法收敛速度。常用方法有:

  • 线性尺度变换 $H = aF+b$
  • $\sigma$截断法 $H = F+(\hat F - c\sigma)$
  • 幂律尺度变换 $H = F^\alpha$

选择策略,低选择压力可选择多种类型的个体,加强对未知解区域的搜索,避免算法陷入局部极值,但算法优化速度会变得缓慢;高选择压力可选择优良个体,加快优化速度但群体多样性会下降,减少搜索到全局最优值的概率。除了轮盘赌算法外,选择策略还有:

  • 分级选择法
  • 锦标赛选择法
  • Boltzmann选择法
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